Ecuaciones de tercer grado

Ecuaciones de tercer grado

Introducción Sin duda, una de las fórmulas más conocidas y usadas en Matemáticas es la que provee las soluciones de una ecuación de segundo grado. En cambio para las ecuaciones de tercer y cuarto grado tal procedimiento es prácticamente desconocido, si bien se sabe que ellas pueden resolverse mediante fórmulas del mismo estilo. Aparecen algunas referencias en textos de historia pero en la bibliografía de uso general no se encuentran explicaciones sencillas ni mucho menos ejemplos o ejercicios. En mi opinión, es necesario que uno conozca los métodos de solución existentes para resolver una ecuación general de tercer grado. Así que en éste capítulo, encontrará el lector los métodos clásicos de Cardano-Tartaglia, como también los métodos de Euler y Lagrange, entre otros métodos innovadores que permiten resolver una ecuación cúbica de forma general. Hablar de ecuaciones cúbicas, es remontarnos a la historia en los tiempos árabes, donde destaca Omar Khayyam (1050-1123), quien consideraba imposible dar solución de tipo aritmético a las ecuaciones cúbicas y presenta únicamente soluciones geométricas mediante intersecciones de cónicas para resolverlas.

 Lo más relevante de Omar Khayyam fue que generalizó el método para cubrir todas las ecuaciones que tengan alguna raíz positiva. Él se da cuenta que estas ecuaciones no pueden resolverse por medio de la geometría plana, es decir utilizando únicamente regla y compás sino que requiere las secciones cónicas. En notación algebraica, el planteamiento de Omar Khayyam se reduce a remplazar en la ecuación + + + = 0, por 2 de donde 2 + 2 + + = 0 que es la ecuación de una hipérbola, mientras que = 2 representa una parábola. Las abscisas para las cuales la hipérbola y la parábola se cortan serán las raíces de la ecuación cúbica. Durante los siglos XV y XVI, habiéndose determinado la solución de las ecuaciones cuadráticas, se plantean problemas que generan ecuaciones cúbicas. Scipione dal Ferro (1465-1526), profesor de matemáticas de Bologna, resolvió ecuaciones particulares del tipo + = aunque no publicó su método. Hacia 1510 le confía su secreto a Antonio María Fior quien años más tarde reta a Niccoló Fontana de Brescia (1499-1557) conocido como “Tartaglia” a resolver treinta ecuaciones de grado tres. Tartaglia resolvió las treinta ecuaciones en donde se incluían algunas de la forma + = con y positivos e incluso de la forma + = y cuyos procedimientos eran desconocidos para Scipione dal Ferro. Gerolamo Cardano, médico renacentista, destacado por sus trabajos en álgebra, publica hacia 1545 y rompiendo una promesa a Tartaglia, su solución para la ecuación + = en su libro Ars Magna. Tartaglia había revelado a Cardano su método en forma de verso, luego de una gran presión por parte de éste. El verso traducido al español es el siguiente: Cuando está el cubo con las cosas preso Y se iguala a algún número discreto Busca otras dos que difieran en eso Después tú harás esto que te espeto Que su producto sea igual al tercio cubo de la cosa neta. En realidad Tartaglia resuelve ecuaciones de los tres tipos siguientes: + = , + = y = + . De la ecuación cúbica + + + = 0, en la época de Cardano se consideraba tantos tipos como posibilidades para los signos positivos y negativos de los coeficientes. Dado el carácter geométrico que se le asignaba a toda expresión algebraica el número negativo no tenía sentido en el espacio físico. Como por ejemplo determinar un cuadrado de magnitud negativa o un volumen negativo de un cuerpo tridimensional. Cardano y su discípulo Ferrari, comprueban posteriormente, que el método de Tartaglia y de Antonio Fior son los mismos e incluso que algunas publicaciones de Tartaglia, eran traducciones de la obra de Arquímedes copiado de Guillermo de Moerbecke. Fiore sólo sabía resolver ecuaciones cúbicas incompletas del tipo + + = 0, pero Cardano había resuelto ecuaciones como: + + = 0 reduciéndolo al caso anterior por medio de una sustitución.

Método de Cardano-Tartaglia. En esta sección, deduciremos la fórmula para resolver la ecuación de tercer grado en forma general, usando algunos aspectos de las ideas de Cardano y Tartaglia. Consideremos la ecuación general de tercer grado: + + + = 0 … (1) donde , y son números reales. Es posible, mediante una Transformación de Tschirnhaus, eliminar el término cuadrático de la ecuación (1). Al utilizar la resultante para eliminar el término cuadrático, se llega a: = − … (2) Por lo tanto la ecuación (1) puede ser transformada de la siguiente manera: + + = 0 … (3) donde = − = − + A esta ecuación se le conoce como “ecuación cúbica reducida”. La ecuación (3) es más fácil de utilizar que la ecuación (1). Se puede proponer que la solución de (3) sea la suma de dos números y , es decir: = + … (4) Al sustituir (4) en (3), se obtiene: + + ( + )(3 + ) + = 0 … (5) Se observa que para que se cumpla la igualdad en (5), debe suceder que: + = − = − … (6)

 Al resolver el sistema de ecuaciones (6), se llega a una ecuación cuadrática: ( ) + ( ) − = 0 … (7) La ecuación (7) puede ser resuelta por la fórmula de Bháskara, por lo que: = − ± + … (8) De igual manera, se tiene que: = − ± + … (9) Es claro que para satisfacer el sistema de ecuaciones (6), se debe de cumplir que: = − 2 + √∆ = − 2 − √∆ donde ∆= + Por lo tanto, hemos encontrado una raíz de la ecuación cúbica. Al sustituir estos valores en (4): = − + √∆ + − − √∆ … (10) A la cantidad ∆ se le conoce como el discriminante de la ecuación cúbica reducida. Finalmente, para encontrar , se hace uso de (2): = − 3 + − 2 + √∆ + − 2 − √∆ Este resultado es la llamada “fórmula de Cardano-Tartaglia”, para resolver una ecuación cúbica en forma general. Al analizar un poco la fórmula de Cardano-Tartaglia, existen dos dilemas y esto es algo que no pudo resolver Cardano ni Tartaglia.

¿Cómo calcular las otras dos raíces de la ecuación cúbica? ¿Qué pasa si el discriminante ∆ es menor a cero? Recordemos que en aquella época, aún no se descubrían los números complejos. 

Por esta razón, Cardano no supo qué hacer cuando ∆< 0, por lo que a éste caso, le llamó el caso irreducible. Así como en el caso de una ecuación cuadrática, su discriminante nos da información detallada del tipo de raíces que podemos tener, lo mismo sucede para una ecuación cúbica: su discriminante nos dirá cómo serán las raíces. Entonces, conviene enunciar el siguiente teorema: Teorema 2.1.a Consideremos una ecuación cúbica + + + = 0 con coeficientes reales. Entonces: a) Si ∆= 0 todas sus raíces son reales y al menos dos de ellas son iguales. b) Si ∆> 0 la ecuación tiene una raíz real y dos son complejas. c) Si ∆< 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples. donde ∆= + En algunos artículos, podemos encontrar que el discriminante es definido de manera distinta, al presentado aquí. Esto se debe a la razón siguiente: el discriminante de la ecuación cúbica, de acuerdo con el capítulo anterior, está definido por la siguiente expresión: = ( , ´) (−1) ( ) De ahora en adelante, se usará la letra al discriminante de una ecuación polinómica definido por la expresión anterior. Si uno calcula el discriminante por medio de esta expresión, se obtiene que: = −4 − 27 Esta expresión no se parece en nada a ∆= + . 

Esto puede causar algo de confusión. Hay que aclarar que las dos expresiones son válidas; el detalle está en que hay que definir una relación que conjunte ambas expresiones. Entonces, podemos definir que: = −108 ∆ Esto permitirá relacionar ambos discriminantes. Ambas expresiones son correctas. Todo lo anterior que hemos visto es válido y podemos usar la expresión anterior para expresar la solución de en términos de : = − 3 + − 2 + − 108 + − 2 − − 108 Al simplificar la solución anterior, nos queda: = − + − 27 2 + 3 2 √−3 + − 27 2 − 3 2 √−3 3 Ambas expresiones de nos darán el mismo resultado. Entonces, de acuerdo a esto, podemos enunciar el siguiente teorema: Teorema 2.1.b Consideremos una ecuación cúbica + + + = 0 con coeficientes reales. Entonces: a) Si = 0 todas sus raíces son reales y al menos dos de ellas son iguales. b) Si < 0 la ecuación tiene una raíz real y dos son complejas. c) Si > 0 la ecuación tiene tres raíces reales simples. donde = −4 − 27 Tanto el teorema 2.1.a como 2.1.b son válidos. Si usamos ∆, aplicamos el teorema 2.1.a y si usamos , aplicamos el teorema 2.1.b. La mayoría de libros y artículos utilizan el teorema 2.1.a, por ser más simple la expresión para calcular . Ahora vamos a analizar una de las preguntas pendientes que no pudo resolver Cardano. ¿Cómo calcular las otras dos raíces de la ecuación cúbica?

Un método para poder encontrar las otras dos raíces faltantes de la ecuación cúbica es el utilizar división sintética a la ecuación cúbica reducida + + = 0. Al realizar esto, nos queda la siguiente ecuación cuadrática: + + ( + ) = 0 … (11) donde = − 2 + √∆ + − 2 − √∆ Al resolver (11) por la fórmula de Bháskara: , = ± … (12) Es posible escribir de otra manera la solución (12), mediante manipuleo algebraico. Sea = = − 2 + √∆ + − 2 − √∆ entonces , = ± = − ± √ + … (13) Al calcular , se tiene que = − 2 + √∆ + − 2 − √∆ + 2 4 − 27 + 4 = − + √∆ + − − √∆ − … (14) Ahora sea: = − + √∆ − − − √∆ … (15)

De igual manera, será: = − + √∆ + − − √∆ + … (16) De las expresiones (14) y (16), se obtiene que: = + … (17) Por lo tanto, de acuerdo con (13), las raíces , se pueden expresar como: , = − 2 ± √3 2 Por lo tanto, las otras dos raíces serán: , = − 3 − 2 ± √3 2 De esta expresión, se observa que efectivamente si y son cantidades reales, dos raíces de la ecuación cúbica serán números complejos. Ahora veamos cómo resolver la ecuación cúbica cuando el discriminante ∆ es menor a cero; es decir, analicemos el caso irreducible. En el libro Ars Magna, de Cardano, se analiza la siguiente ecuación cúbica: − 15 − 4 = 0 Al aplicar la fórmula de Cardano-Tartaglia, se obtiene que: = 2 + √−121 + 2 − √−121 Cardano no supo qué hacer con este tipo de expresiones. Fue Rafael Bombelli (1526- 1572) el primer matemático que calculó una raíz cúbica compleja. Bombelli hace lo siguiente: 2 + √−121 = 2 + 121(−1) = 2 + 11√−1